“Các mệnh đề phức tạp được hình thành từ một hoặc nhiều mệnh đề đơn giản kết hợp với nhau, và cách thức này được gọi là ‘phép liên kết’. Ví dụ, ‘Tấm thẻ này không phải là nô lệ’, ‘Tấm thẻ này là người đàn ông trên 16 tuổi’, ‘Tấm thẻ này có nguồn gốc từ tỉnh Phúc Kiến hoặc Hải Nam’ – đây là ba mệnh đề phức tạp.”

“Mệnh đề đầu tiên là sự phủ định của mệnh đề đơn giản ‘Tấm thẻ này là nô lệ’, và phép liên kết được sử dụng ở đây là ‘phi’; mệnh đề thứ hai được tạo thành từ hai mệnh đề đơn giản ‘Tấm thẻ này là người trên 16 tuổi’ và ‘Tấm thẻ này là người đàn ông’, và phép liên kết được sử dụng ở đây là ‘và’, nghĩa là khi cả hai mệnh đề đơn giản đó đều đúng thì mệnh đề phức tạp cũng đúng; còn mệnh đề thứ ba được tạo thành từ hai mệnh đề đơn giản ‘Tấm thẻ này có nguồn gốc từ tỉnh Phúc Kiến’ và ‘Tấm thẻ này có nguồn gốc từ tỉnh Hải Nam’, và phép liên kết được sử dụng ở đây là ‘hoặc’, nghĩa là chỉ cần một trong hai mệnh đề đơn giản đó đúng thì mệnh đề phức tạp cũng đúng.”

“Vì vậy, chúng ta có ba phương thức để kết hợp nhiều mệnh đề lại với nhau thành một mệnh đề lớn hơn: ‘và’, ‘hoặc’, ‘phi’. Thực ra còn có hai phương thức khác nữa, nhưng hiện tại chúng không liên quan đến thiết kế máy phân loại, vì vậy chúng ta sẽ bỏ qua chúng ở đây.”

“Khi chúng ta sử dụng các ký hiệu để biểu diễn các mệnh đề và phép liên kết, bất kỳ truy vấn nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một biểu thức toán học. Rõ ràng, những tấm thẻ mà biểu thức đó đúng chính là những tấm thẻ mà chúng ta đang tìm kiếm. Và nhiệm vụ của máy phân loại là xác định xem liệu biểu thức đó có đúng hay không đối với tất cả các tấm thẻ.”

“Do đó, bất kỳ biểu thức nào mà máy phân loại của chúng ta có thể xác định được đúng/sai, chính là những vấn đề mà chúng ta có thể giải quyết; còn những biểu thức mà máy phân loại không thể xác định được đúng sai, thì đó chính là những vấn đề mà chúng ta không thể giải quyết được.”

“Đây chính là phần trừu tượng hóa ban đầu của chúng ta đối với vấn đề này.”

Phùng Nuô viết lên bảng một số ký hiệu kỳ lạ: ∨ (hoặc), ∧ (và), ┐ (phi); những ký hiệu này trông giống như các dấu “lớn hơn” và “nhỏ hơn” được xoay 90 độ, cùng với chữ cái Latinh “L” được đảo ngược.

“Được rồi, bây giờ chúng ta có thể viết biểu thức cho mệnh đề ‘Người có nguồn gốc từ tỉnh Phúc Kiến hoặc Hải Nam’ rồi. Hải Nam được biểu diễn bằng con số 100, còn Phú

Vậy thì, biểu thức của một phép đặt câu hợp là: ‘(A∧B∧C)∨(A∧D∧E)’.”

“Máy phân loại của chúng ta hoạt động như thế nào để xác định đúng sai? Nó kiểm tra xem các thẻ có bị khoét lỗ hay không; nghĩa là mỗi bộ phận đọc thẻ của máy phân loại đều có thể xác định đúng sai của một phép đặt câu đơn giản trong phép đặt câu hợp đó. Đồng thời, thông qua một rơle điều khiển, chúng ta có thể yêu cầu mỗi bộ phận đọc thẻ xác định đúng sai của những phép đặt câu chỉ chứa một liên từ “không”.

“Nếu chúng ta chỉ có một bộ phận đọc thẻ, thì mọi việc sẽ rất đơn giản. Nhưng hiện tại chúng ta có 10 bộ phận đọc thẻ, vì vậy mọi thứ trở nên phức tạp hơn một chút. Tuy nhiên, vẫn có thể phân tích được. Mọi người hãy lưu ý đến đặc điểm của các thẻ được đưa vào túi thẻ bên cạnh mỗi bộ phận đọc thẻ:

– Các thẻ trong túi thẻ số k là sự kết hợp của “và” giữa “không” của các phép đặt câu số 1 đến số k-1 và phép đặt câu số k.

– Các thẻ còn lại sau khi đi qua bộ phận đọc thẻ số k là sự kết hợp của “và” giữa “không” của các phép đặt câu đã được xác định từ số 1 đến số k.

– Tổng thể các thẻ trong các túi thẻ số 1 đến số k tạo thành sự kết hợp của “hoặc” giữa các phép đặt câu đó.

– Giả sử các phép đặt câu đơn giản (hoặc “không” của chúng) mà các bộ phận đọc thẻ này xác định là p1, p2, …, p10.

– Vậy thì các biểu thức phép đặt câu mà chúng ta có thể xác định sẽ là:

– Túi thẻ số 1: p1

– Túi thẻ số 2: ┐p1∧p2

– Túi thẻ số 3: ┐p1∧┐p2∧p3

– Túi thẻ số 4: ┐p1∧┐p2∧┐p3∧p4

– Túi thẻ số 10: ┐p1∧┐p2∧…∧┐p9∧p10

– Các thẻ còn lại: ┐p1∧┐p2∧…∧┐p10

– Cuối cùng, do các thẻ này được tách riêng biệt với nhau, chúng ta có thể tự do chọn kết hợp các thẻ từ bất kỳ túi thẻ nào với nhau, tương ứng với sự kết hợp của “hoặc” giữa các biểu thức trên; điều quan trọng nhất là khi kết hợp các thẻ từ 10 túi thẻ đầu tiên, kết quả sẽ là p1∨…∨pk, tức là một phép “hoặc” liên tiếp bắt đầu bằng p1.

– Các thẻ còn lại sau khi đi qua bộ phận đọc thẻ số k sẽ tạo thành biểu thức ┐p1∧…∧┐pk, tức là một phép “và” liên tiếp bắt đầu bằng ┐p1.”

– Vì vậy, bất kỳ phép đặt câu nào có thể được biểu diễn dưới dạng trên thì máy phân loại đều có thể tìm ra; ngược lại, những phé

“Vấn đề mà tôi đặt ra cho Gia Nại là tìm ra những thẻ thuộc khu vực Sanya, ngoại trừ những thẻ dành cho nô lệ, và phân loại chúng thành các tiên đề đơn giản hoặc phi tiên đề sau:

Tiên đề A: ‘Chữ số thứ nhất của mã khu vực không phải là 1’,

Tiên đề B: ‘Chữ số thứ hai của mã khu vực không phải là 0’,

Tiên đề C: ‘Chữ số thứ ba của mã khu vực không phải là 0’,

Tiên đề D: ‘Chữ số thứ tư của mã khu vực không phải là 1’,

Tiên đề E: ‘Chữ số thứ năm của mã khu vực là 1’,

Tiên đề F: ‘Chữ số thứ năm của mã khu vực không phải là 2’,

Tiên đề G: ‘Chữ số thứ sáu của mã khu vực không phải là 9’,

Tiên đề H: ‘Chữ số thứ bảy của mã khu vực không phải là 9’.

Khi tổ hợp tất cả các tiên đề này lại với nhau (┐A∧┐B∧┐C∧┐D∧E), ta sẽ được mã số 10011 – thuộc khu vực Sanya, thị trấn Yulin, và nó phù hợp với điều kiện xác định thẻ thuộc túi thẻ số 5; do đó, những thẻ này nằm trong túi thẻ số 5 và có thể được ghi là p5.

Tương tự, khi tổ hợp tất cả các tiên đề trên với thêm tiên đề F và G, ta sẽ được các mã số từ 100120 đến 100128 – thuộc khu vực Sanya, xã 11 đến 89, thị trấn Điền Độc; những thẻ này phù hợp với điều kiện xác định thẻ thuộc túi thẻ số 7, vì vậy chúng nằm trong túi thẻ số 7 và có thể được ghi là p7.

Cuối cùng, khi tổ hợp tất cả các tiên đề lại với nhau (p5∨p7∨p8), ta sẽ được danh sách các thẻ thuộc khu vực Sanya, thị trấn Điền Độc, nhưng không bao gồm những thẻ dành cho nô lệ; đây chính là kết quả mà chúng ta cần. Vì biểu thức này phù hợp với quy tắc đã đề ra, nên máy phân loại có thể xử lý được vấn đề này.”

“Còn biểu thức ‘(A∧B∧C)∨(A∧D∧E)’ thì dù chúng ta thay đổi nó như thế nào đi nữa, cũng không thể biến đổi nó thành các biểu thức trên; vì vậy, máy phân loại hiện tại không thể xử lý được vấn đề này.”

“Được rồi, vấn đề đặt ra là: làm thế nào để biến đổi các biểu thức này?” Lúc này, anh ấy nhìn về phía Phùng San.

“Đây chính là đại số Boole sử dụng các số 0 và 1,” Phùng San trả lời, ánh mắt cô đầy hứng thú.

Phùng Nuô gật đầu; trong khi đó, Tiền Vũ Chi và Lý Gia Nại trước đó hoàn toàn không hiểu gì cả, nhưng khi nghe đến “đại số Boole”, họ bắt đầu hiểu một chút.

Trước đó, Phùng Nuô chỉ dạy họ những kiến thức cơ bản nhất về đại số Boole, nên họ nghĩ rằng đại số Boole chỉ đơn giản là việc sử dụng các số 0 và 1 mà thôi.

“Vậy sau đó thì sao?” Phùng Nuô tiếp tục hỏi.

“Đại số Boole là một lưới có phép phân bổ! Phép giao được gọi là ‘và’, phép hợp được gọi là ‘hoặc’, việc tìm phần bù được gọi là ‘không’. Đại số Boole tuân thủ các quy tắc đối xứng, kết hợp và hấp thụ; phép ‘và’ và ‘hoặc’ cũng tuân thủ quy tắc phân bổ! Đại số Boole với chỉ 2 giá trị 0 và 1 còn tuân thủ quy tắc đơn vị nữa!”

Đây là phần lý thuyết về đại số Boole, và Tiền Vũ Chi cùng Lý Gia Nại lại cảm thấy rất khó hiểu.

“Rất tốt,” Phùng Nuô khen ngợi.

“Tuy nhiên,” ông tiếp tục nói, “Các quy tắc cơ bản của lưới chỉ liên quan đến hai phép toán ‘và’ và ‘hoặc’, bao gồm đối xứng, kết hợp, hấp thụ, đơn vị và phân bổ… Trong logic mệnh đề, chúng ta còn cần xem xét đến tính chất của phép ‘không’. Hiện tại, tôi sẽ chỉ nói đến hai điểm: Thứ nhất, quy tắc phủ định kép: Rõ ràng, phủ định của phủ định của một mệnh đề chính là chính mệnh đề đó. Cách biểu diễn của nó là…”

Phùng Nuô viết lên bảng:

┐┐A = A;

“Thứ hai, quy tắc… à, gọi nó là ‘quy tắc chuyển đổi và hoặc’ đi. Phủ định của tổng hợp của hai mệnh đề chính là phân ly của phủ định của hai mệnh đề đó; phủ định của phân ly của hai mệnh đề chính là tổng hợp của phủ định của hai mệnh đề đó. Cách biểu diễn của nó là…”

Ông tiếp tục viết:

┐(A∧B) = ┐A∨┐B,

┐(A∨B) = ┐A∧┐B.

“Tôi sẽ đưa ra hai ví dụ để các bạn hiểu rõ hơn: ‘Không phải là người đàn ông trên 16 tuổi’ có nghĩa là ‘là người dưới 16 tuổi’ hoặc ‘là phụ nữ’; ‘Không phải là người có nguồn gốc từ Hải Nam hay Phúc Kiến’ có nghĩa là ‘không phải là người có nguồn gốc từ Hải Nam’ và ‘không phải là người có nguồn gốc từ Phúc Kiến’.”

Sau đó, ông tiếp tục nói: “Dựa vào các quy tắc này, chúng ta có thể biến đổi các biểu thức mệnh đề logic thành nhiều dạng khác nhau. Tuy nhiên, thông thường chúng ta sẽ biến đổi chúng thành dạng ‘hoặc’ của nhiều phép ‘và’ liên tiếp, hoặc dạng ‘và’ của nhiều phép ‘hoặc’ liên tiếp, được gọi là dạng phân ly và dạng tổng hợp.”

“Tốt, khi đã có công cụ lý thuyết này, chúng ta có thể nhận ra rằng các thiết kế máy phân loại hiện tại còn nhiều hạn chế. Nếu máy phân loại có thể xử lý các dạng phân ly hoặc tổng hợp thông thường, thì sẽ không còn vấn đề nào không thể giải quyết được về mặt thiết kế nữa… Chẳng hạn như việc ‘xác định những người có nguồn gốc từ Phúc Kiến hoặc Hải Nam’.”

“Điều này đòi hỏi mỗi đơn vị đọc thẻ của chúng ta không chỉ có thể xác

“Vũ Chi, thời gian này em đã quen thuộc khá nhiều với các mạch điện rồi đấy. Hãy lắp ráp một mạch điện gồm hai công tắc và một bóng đèn sao cho ‘chỉ khi cả hai công tắc đều được kích hoạt thì bóng đèn mới sáng’.”

Phùng Nuô chỉ vào chiếc bàn làm việc bên cạnh. Trên bàn có đống dây dẫn, rơle, bóng đèn và công tắc; phía dưới bàn đặt hai viên pin hình chuông cồng kềnh, còn máy đo điện trở và một số thiết bị khác thì được để ở góc bàn.

Tiền Vũ Chi linh hoạt tiến lại gần bàn làm việc và bắt đầu thực hiện công việc. Đầu tiên, anh ta nối dây dẫn từ các cực dương và âm của pin, sau đó kết nối bóng đèn vào mạch điện – bóng đèn lập tức sáng lên. Tiếp theo, anh ta nối hai công tắc lại với nhau, rồi kết nối chúng với bóng đèn và pin.

Phùng Nuô yêu cầu ba học sinh thử xem liệu có đúng là chỉ khi cả hai công tắc đều được kích hoạt thì bóng đèn mới sáng không; nếu có bất kỳ một công tắc nào bị ngắt, bóng đèn sẽ tắt ngay lập tức.

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

Cập nhật tiếp theo: Tập 7 – Quảng Công Thuật Biên, Chương 61