“Công thức ma trận trọng số mới này là tôi tự mình suy luận ra dựa trên các phép chứng minh liên quan đến bất đẳng thức trọng số, và giá trị của nó chắc chắn sẽ không vượt quá mười.”

Buổi sáng.

Bộ môn Thông tin và Kỹ thuật, nhóm dự án Hệ thống Định vị Không dây.

Từ Minh đã trình bày công thức ma trận trọng số mới mà mình vừa suy ra tại cuộc họp nhóm hàng tuần.

Tối hôm qua, sau khi thảo luận với anh Lâm Vĩ, anh ta càng tin tưởng vào công thức của mình hơn; vì vậy sáng sớm hôm đó, chỉ ăn vài chiếc bánh bao gọn lỏn, anh ta đã ngay lập tức đến nhóm để chia sẻ niềm vui này.

Cuộc họp nhóm được tổ chức hai đến ba lần mỗi tuần, nhằm giúp mọi người phối hợp công việc tốt hơn và khắc phục những thiếu sót.

Là người chịu trách nhiệm chính của dự án, Hứa Sùng Hưng cũng tham gia vào các cuộc họp này.

Nhưng hôm nay, anh ta hoàn toàn không ngờ rằng ngay khi đến nơi, mình lại nghe được những tin vui – và thông tin đó được chính Từ Minh chia sẻ.

Thực ra, kể từ khi anh ta mượn người từ khoa Toán đến khi Từ Minh tham gia nhóm, chỉ mới qua vài ngày mà thôi.

Ban đầu, anh Hứa Sùng Hưng muốn mọi người nghỉ ngơi một chút vào cuối tuần, bởi vì trong thời gian này, mọi người đều phải thức khuya để tối ưu hóa mô hình định vị.

Ai ngờ Từ Minh lại tiếp tục nghiên cứu những điểm yếu của dự án và thậm chí còn thành công trong việc tìm ra công thức ma trận trọng số mới này.

Lúc này, Hứa Sùng Hưng đang nhìn chăm chú vào công thức trong tay mình.

Sau khi nghe xong lời giải thích của Từ Minh, anh ta ngước mặt lên và hỏi một cách nghiêm túc:

“Anh có chắc chắn về công thức này không?”

“Tôi rất tin tưởng vào công thức ma trận trọng số mới của mình,” Từ Minh trả lời một cách quyết đoán, không hề do dự chút nào.

Mặc dù công thức vẫn chưa được kiểm chứng và chưa có giá trị cụ thể, nhưng chắc chắn nó sẽ tốt hơn nhiều so với công thức hiện tại.

Vậy lý do tại sao anh ta lại tự tin đến vậy?

Đó chính là bài báo khoa học về bất đẳng thức trọng số mà anh ta đã gửi đăng cho tạp chí Thông tin và Ứng dụng Toán học, và bài báo đó đã được chấp nhận.

Gần như ngay sau khi anh Từ Minh kết thúc câu nói của mình, Lâm Vĩ ngồi bên cạnh cũng lên tiếng bổ sung.

“Hôm qua tôi cùng với đệ Xu đã tiến hành nghiên cứu và xác định được mối quan hệ định lượng giữa hệ số điều kiện của ma trận trọng số và sai số định vị; chính dựa trên điều này mà đệ Xu đã suy ra công thức ma trận trọng số mới hiện nay.”

Khi nói ra những điều này, anh ấy không khỏi cảm thán sâu sắc, nhận ra rằng mình vẫn đánh giá thấp quá tài năng của Từ Minh. Nghĩ lại những ngày mình tham gia nhóm dự án mà chưa đạt được bất kỳ tiến triển nào, so với việc Từ Minh ngay từ khi mới đến đã đưa ra công thức ma trận trọng số mới, anh ấy cảm thấy mình thật sự yếu kém hơn nhiều. Cũng không lạ gì mà Lưu Tân Kiệt luôn nhắc đến Từ Minh; người này thực sự rất ấn tượng.

Trong khi đó, Quách Hoàng Cường và Vương Văn Lệ ngồi đối diện, khi nghe những lời này, ánh mắt họ không hề rời khỏi Từ Minh; trong mắt họ lúc nào cũng hiện lên vẻ phức tạp. Đặc biệt là Vương Văn Lệ, cô ấy cảm thấy vô cùng xấu hổ. Cuối tuần vừa rồi, cô ấy đã quyết tâm ngủ nướng để có đủ sức lực làm việc vào thứ Hai, nhưng giờ đây, khi biết rằng một thành viên mới chỉ là sinh viên đại học lại có thể suy ra công thức ma trận trọng số mới như vậy, cô ấy cảm thấy áp lực lại càng lớn hơn. “Liệu đây thực sự là một sinh viên đại học mới sao?” Cô ấy thầm tự hỏi, vẫn không thể tin nổi. Dù sao thì những người được giáo sư chọn để tham gia dự án này, dù là sinh viên đại học mới, chắc chắn cũng phải có những điểm mạnh đặc biệt. Nhưng màn trình diễn hiện tại của Từ Minh thực sự vượt xa sự mong đợi của mọi người.

Đúng lúc này, Quách Hoàng Cường – người vốn chưa lên tiếng – sau một khoảng lát do dự, đã bày tỏ lo ngại của mình:

“Giáo sư ơi… Liệu chúng ta có nên kiểm tra lại công thức ma trận trọng số của đệ Xu không? Thời gian còn lại của chúng ta không nhiều nữa rồi.” Khoảng thời gian còn lại cho cuộc kiểm tra sơ bộ của Ủy ban Kỹ thuật Olympic chỉ còn khoảng nửa tháng nữa thôi. Nếu quyết định sử dụng công thức của Từ Minh để xây dựng lại mô hình thí nghiệm, thì gần như sẽ không còn cơ hội điều chỉnh nữa.

Nếu kết quả cuối cùng vẫn còn sự sai lệch đáng kể, chắc chắn họ sẽ bị loại bỏ. Và sẽ không có cơ hội tham gia Thế vận hội Khoa học và Công nghệ này. Nếu công thức này do Lâm Vĩ đề xuất, anh ấy chắc chắn sẽ tin tưởng vào nó một cách tuyệt đối. Nhưng tiếc là Từ Minh mới tham gia dự án trong thời gian ngắn, và so với các thành viên khác, anh ấy cũng thiếu kinh nghiệm thực tế. Hứa Sùng Hưng lắng nghe những ý kiến của mọi người, rồi gõ ngón trỏ lên mặt bàn để suy nghĩ. Những người khác đều giữ im lặng và kiên nhẫn chờ đợi. Sau hơn mười giây, Hứa Sùng Hưng đột nhiên ngừng lại, đứng thẳng dậy và đưa ra quyết định: “Các phép suy luận toán học giống như chiếc kính hiển vi, giúp chúng ta tránh được những cái bẫy ngay trước mắt.” “Vì mô-đun tính toán ma trận trọng số được Từ Minh và Lâm Vĩ phụ trách, nên chúng ta nên tin tưởng vào họ.” “Ngay cả khi thất bại, toàn bộ nhóm sẽ cùng chịu trách nhiệm.” “Hãy dựa trên công thức ma trận trọng số mới này, nhanh chóng xây dựng mô hình và tiến hành thử nghiệm.” “Được rồi, thầy ạ,” Quách Hoàng Cường lập tức đáp lại. Sau khi nhiệm vụ được sắp xếp lại, Hứa Sùng Hưng không trì hoãn nữa, thông báo tan họp và mọi người bắt đầu làm việc ngay. Mô-đun mã nguồn cốt lõi của hệ thống định vị chủ yếu do Cao Khải và Ngụy Đại Cường phụ trách xây dựng, vì vậy công việc của họ sẽ rất nặng nề trong thời gian tới. Từ Minh thực sự muốn tham gia vào quá trình lập trình, để kiểm tra xem liệu khả năng cảm nhận mã nguồn có mang lại hiệu quả gì không… Nhưng do phân công công việc khác nhau, anh ấy chỉ có thể chờ đợi cơ hội tiếp theo. …… Trong hai ngày tiếp theo, Từ Minh vẫn đến Viện Tin học đúng giờ. Mặc dù không phải làm nhiều công việc liên quan đến dự án, nhưng anh ấy cũng không lãng phí thời gian. Đây cũng là cơ hội tốt để anh ấy hỏi thầy Lâm Vĩ về các lý thuyết hàm thực. Anh ấy tận dụng triệt để các nguồn lực có sẵn để nâng cao hiệu quả học tập và kiến thức chuyên môn của mình. Ba định lý cốt lõi khó nhất trong lý thuyết hàm thực bao gồm Định lý Egorov về sự hội tụ gần như ở mọi điểm, Định lý Lusin về mối liên hệ giữa hàm có thể đo được và hàm liên tục, cùng với các điều kiện cho sự đổi chỗ giữa tích phân Lebesgue và giới hạn.

Khi tham gia các hoạt động nhóm học tập, tôi đã nghe không ít lần Nghiêm Vĩ Hoà cùng với Gao Ke than phiền rằng độ khó của chúng quá cao. Thậm chí còn có nhiều câu tục ngữ được lan truyền ra ngoài. Những hàm đo được xuất hiện ở mọi nơi, nhưng ai có thể đảm bảo rằng chúng luôn hội tụ? Có quá nhiều điều kiện kiểm soát sự hội tụ; nếu bỏ sót bất kỳ điều kiện nào, bạn sẽ gặp rất nhiều rắc rối. Tuy nhiên, lĩnh vực hàm số thực giống như “việc tập luyện toán học”: quá trình có thể rất gian khổ, nhưng sau khi vượt qua được, khả năng suy luận của bạn sẽ được cải thiện đáng kể. Dù là sử dụng phương pháp L^2 để giải phương trình vi phân hay áp dụng lý thuyết đo đạc để nghiên cứu xác suất, tất cả đều có thể coi là những cách giúp giảm độ phức tạp của vấn đề. Còn Từ Minh thì sử dụng khả năng phân tích và giải thích thông qua mô hình để chia nhỏ những định lý phức tạp thành những mô hình đơn giản hơn, từ đó giúp người học nhanh chóng nắm vững và sử dụng chúng một cách linh hoạt. Vào buổi sáng hôm đó, Từ Minh ngồi ở chỗ của mình, lấy cuốn sách hướng dẫn giải bài tập về hàm số thực ra để ôn lại. Bên cạnh, Lâm Vĩ cũng khá rảnh rỗi; ngoại trừ thỉnh thoảng ghé nhìn Quách Hoàng Cường Cao Kai, phần lớn thời gian còn lại anh ấy đều dành để suy luận các công thức trên giấy nháp và nghiên cứu đề tài tiến sĩ toán học của mình. “Đối với những bài tập về sự tiếp cận các hàm đơn giản, chỉ cần áp dụng các định lý chuẩn trong lĩnh vực hàm số thực là được,” Từ Minh nói, và nhanh chóng giải xong một câu hỏi nhỏ trong bài tập. Anh ấy tiếp tục lẩm bẩm với bản thân trong khi chuyển sự chú ý sang câu hỏi tiếp theo. “Hãy sử dụng kết luận từ (1) và định lý Yegorov để chứng minh rằng: Đối với bất kỳ δ > 0 nào, luôn tồn tại một tập con đo được E_δX… sao cho trên E_δ, các hàm f_n sẽ hội tụ đều về hàm f.” “Câu hỏi này có vẻ hơi phức tạp…” Khi nhìn thấy thông tin của bài tập, Từ Minh nhăn mày, sau đó lật trang giấy nháp sang trang mới và bắt đầu suy nghĩ về cách chứng minh. Nhưng vừa viết được vài dòng công thức, anh ta nghe thấy giọng nói của anh trai cùng lớp Lâm Vĩ vang lên bên tai: “Em út ơi…” “Việc giải bài tập về hàm số thực chỉ bằng cách tự mình tìm tòi thì không ổn đâu; để anh trai hướng dẫn em sẽ tốt hơn nhiều.” Lâm Vĩ rất vui mừng khi biết Từ Minh muốn học lĩnh vực hàm số thực; anh ấy ngh

Dù sao thì, với công thức ma trận có trọng số đó, mong muốn này cũng không thể thành hiện thực. Vì vậy, ngay hôm đó anh ấy đã giảng về các kỹ thuật học lý thuyết hàm thực, và yêu cầu Từ Minh bất cứ khi nào gặp khó khăn trong việc giải bài tập lớn thì đến hỏi anh ấy. Nhưng thực tế là, suốt hai ngày trôi qua, anh ấy vẫn chưa có cơ hội được giảng dạy. Người ta thậm chí còn nghi ngờ rằng có lẽ Từ Minh xấu hổ quá để phiền anh ấy. Vì vậy, hôm nay khi thấy Từ Minh dường như gặp khó khăn trong việc giải bài tập, anh ấy liền tự nguyện tiến lại để giúp đỡ. Khi Từ Minh ngẩng mắt nhìn thấy sự nhiệt tình của Lâm Vĩ bên cạnh mình, khuôn mặt anh ấy hiện lên vẻ ngượng ngùng. Trước khi tiếp xúc với lý thuyết hàm thực, do ảnh hưởng từ Nghiêm Vĩ Hoà và Gao Ke, Từ Minh cho rằng lý thuyết hàm thực rất khó, lo lắng rằng việc tự học sẽ không hiệu quả, nên mới nói với anh trai Lâm Vĩ rằng mình sẽ xin ông ấy giúp đỡ. Nhưng khi thực sự tìm hiểu kỹ hơn, anh ấy mới phát hiện ra rằng nó cũng không quá khó; chỉ cần phân tích cấu trúc và suy luận thì sẽ dễ dàng hiểu được. Trong tình huống này, tự nhiên là không nên tiếp tục làm phiền người khác nữa. Nhưng anh ấy thực sự không ngờ rằng anh trai Lâm Vĩ lại tự nguyện đến giúp đỡ mình. Quả thực, như Lưu Tân Kiệt đã nói, vị anh trai tiến sĩ này rất thích giảng dạy cho các em út. Nhanh chóng suy nghĩ xong, Từ Minh lập tức nhường chỗ và chỉ vào bài tập đang được giải. “Vậy thì xin anh trai giải giúp tôi bài này nhé.” “Để tôi xem xem.” Lâm Vĩ đáp lại một cách tự tin và vui vẻ. Phải nói rằng, với tư cách là một tiến sĩ khoa toán, Lâm Vĩ thực sự có những phương pháp giải bài tập riêng khi đối mặt với lý thuyết hàm thực. Thêm vào đó, sau nhiều năm giải hàng ngàn bài tập, anh ấy đã nhanh chóng bắt đầu giải thích. “Bài này yêu cầu sử dụng những kết luận đã có trước đó để chứng minh kết quả về sự hội tụ của chuỗi hàm.” “Nếu áp dụng trực tiếp định lý Egorov cho {f_n} và f, chúng ta sẽ bỏ qua những kết luận đã có và rất dễ gặp sai lầm; chúng ta cần kết hợp cả hai cách này một cách khéo léo để chứng minh.” “Ý tưởng chính là sử dụng phép tiệp cận và định lý Egorov nhiều lần.”

“Nhanh lên, kể nhanh phương pháp đi. Vừa định nhận bút chì để viết ra các bước chứng minh cho Từ Minh, thì lại thấy anh ta tỏ vẻ hiểu ngay và bắt đầu nói.”

“Sư huynh, em đã hiểu rồi.”

Nghe thấy câu này, Lâm Vĩ bất ngờ sững sờ: “Chỉ mới học hai ngày mà đã hiểu được à?”

Trong suy nghĩ của anh, những học sinh giỏi toán ở khóa trên, ngay cả khi chỉ tiếp xúc với lý thuyết hàm số thực, cũng phải mất rất nhiều thời gian luyện tập mới có thể tự giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến lý thuyết này.

Nhưng bây giờ, Từ Minh mới học được hai ngày thôi, vẫn đang tự mình tìm tòi.

Đối với một bài toán phức tạp như định lý Yegorov, lẽ ra không thể dễ dàng hiểu được như vậy.

Nghĩ đến việc một số học sinh ngại xin người khác giải thích lại, họ thường sẽ nói rằng mình đã hiểu rồi.

Mặc dù Từ Minh không giống như vậy, nhưng vì lo lắng cho đồng đội, anh vẫn muốn hỏi thêm vài câu nữa.

Thật không may, chưa kịp mở miệng, anh đã bị câu nói tiếp theo của Từ Minh làm cho sững sờ:

“Nhưng em đã nghĩ ra một phương pháp chứng minh đơn giản hơn nữa.”

Nói xong, Từ Minh bắt đầu viết nhanh các công thức trên giấy nháp, đó chính là phương pháp giải quyết mới mà anh ta đã nghĩ ra.

Lâm Vĩ nhìn những dòng chữ đó, dù không dám tin lắm, nhưng cũng phải thừa nhận rằng phương pháp này thực sự đơn giản và hợp lý hơn nhiều.

Anh cứ đứng đó, không thể nói nên lời, trong lòng cũng có chút hối tiếc vì đã tự ý đến hỏi.