“Phương pháp phân tích đa thang độ của ông Hứa Xây Dựng hiện được coi là công cụ mạnh mẽ nhất trong nghiên cứu các vấn đề số học; trong hai năm qua, số lần các bài báo liên quan đến phương pháp này được trích dẫn đã chiếm tới hơn 60% tổng số.”

“Lần này, khi ông ấy trình bày bài thuyết trình kéo dài một giờ tại hội nghị, chắc hẳn sẽ mang lại những bất ngờ thú vị nào đó cho giới khoa học.”

Ngồi ở hàng ghế đầu tiên của khu vực chính, ông Katz Giáo – biên tập viên chuyên mảng số học của tạp chí Toán học hàng năm – cảm thấy rất hào hứng. Nhìn về phía Từ Minh đang đứng trên bục thuyết trình, ông không khỏi mong đợi cuộc trình bày sắp diễn ra này.

Bên cạnh ông, Sa Na Khắc cũng mỉm cười khi nghe những lời đó và tiếp lời:

“Quả thật, đã có một thời gian khá dài kể từ khi tạp chí của chúng ta xuất bản bài báo mới nào của ông Hứa Xây Dựng.”

Dựa vào kinh nghiệm từ những buổi trình bày trước đây của Từ Minh, ông biết rằng sau mỗi buổi trình bày, ông ấy thường sẽ công bố những kết quả nghiên cứu hoàn toàn mới và chỉ mất vài ngày để hoàn thành bài báo. Vào thời điểm đó, bài báo đó sẽ được đăng trên tạp chí Toán học hàng năm.

Việc Từ Minh giải quyết được những giả thuyết klasik trong lĩnh vực số học đã tạo ra tầm ảnh hưởng lớn trong giới học thuật, giúp tạp chí này trở thành một trong bốn tạp chí hàng đầu, khiến cả các nhà toán học thuộc trường phái Princeton cũng cảm thấy tự hào.

Tuy nhiên, sau gần một năm, Từ Minh vẫn chưa công bố bài báo mới nào, điều này khiến chỉ số ảnh hưởng của tạp chí giảm sút. Các tạp chí hàng đầu khác cũng không muốn tụt hậu, vì vậy việc này đã gây ra một áp lực nhất định đối với ông – người đứng đầu ban biên tập.

Chính vì vậy, ông đặc biệt quan tâm đến bài thuyết trình một giờ của Từ Minh hôm nay, hy vọng rằng sẽ có những tiến triển mới trong nghiên cứu số học, từ đó có thể viết bài báo để đăng trên tạp chí Toán học hàng năm.

Trong hàng ghế này, ngoài Katz và Sa Na Khắc, Falge – một ủy viên của Liên đoàn Toán học Quốc tế – cũng ngồi không xa lắm. Vì vậy, ông ấy hoàn toàn có thể nghe rõ cuộc trò chuyện giữa hai người. Là người đứng đầu ban biên tập chuyên về những tiến bộ mới trong lĩnh vực toán học, theo trách nhiệm của mình, ông chắc chắn không mong muốn Từ Minh lại công bố thêm bài báo nào nữa… Đặc biệt là những bài báo liên quan đến những vấn đề toán học đang được quan tâm nhiều.

Với suy nghĩ đó, ông hơi do dự trước khi lạnh lùng đá

“Dù tài năng toán học của anh ta có cao đến đâu, thật đáng tiếc là nó chỉ giới hạn trong lĩnh vực số học – một nhánh toán học cổ xưa – và khó có thể góp phần vào các lĩnh vực khác.”

“Vậy không biết Giáo sư Falger có thể tìm ra được một thiên tài nào đó, người có thể chứng minh giả thuyết về các số nguyên sinh song sinh hay không?” Nghe vậy, Sanaak không hề do dự mà lập tức quay đầu đáp trả.

Ngay sau lễ trao giải Fields vào năm ngoái, khi Liên đoàn Toán học Quốc tế tổ chức cuộc họp, ông đã bày tỏ sự không hài lòng với bài phát biểu của Falger. Và bây giờ, ông không thể chịu đựng được nữa. Dù sao thì cả hai đều là ủy viên của liên đoàn và đồng thời là tổng biên tập của các tạp chí toán học hàng đầu thế giới. Xét về mặt đóng góp cho toán học hoặc ảnh hưởng trong giới học thuật, cả hai đều không kém nhau chút nào. Tất nhiên, ông không có gì phải sợ hãi cả.

Ngay cả Katz, người chỉ là biên tập viên chuyên về số học, cũng không nhịn được mà bình luận: “Việc đạt được thành tựu xuất sắc trong một lĩnh vực nào đó đã là điều hiếm có, đối với toàn bộ giới học thuật mà nói, đó chính là điều mơ ước. Hơn nữa, ngoài nghiên cứu về số học, Xu còn có những thành tựu trong lĩnh vực vật lý học tụ.”

“Ngay cả Giáo sư Witten cũng rất đánh giá cao anh ta.”

Bị Sanaak và Katz phản bác, tâm trạng của Falger lập tức trở nên tồi tệ hơn. Đang muốn tiếp tục nói, thì Chủ tịch liên đoàn, ông Lovats, ngồi ở giữa, đã lên tiếng ngăn cản: “Các bạn là ủy viên của liên đoàn, hãy giữ trật tự tại đây; báo cáo của Xu sắp bắt đầu rồi.”

Ngay khi lời này vang lên, Sanaak, Katz và Falger đều im lặng ngay lập tức. Họ lập tức hướng ánh mắt về phía bục thuyết trình.

Từ Minh không phải lần đầu tiên xuất hiện trên sân khấu để báo cáo; mặc dù hôm nay có hơn hai nghìn nhà toán học từ khắp nơi trên thế giới đang ngồi đây, cô vẫn giữ được sự bình tĩnh và trình bày phần mở đầu bằng tiếng Anh một cách thành thạo trước khi bắt đầu nội dung báo cáo chính.

“Chủ đề báo cáo hôm nay của tôi là ‘Thảo luận về tính khả thi của việc suy ra các hình phức đồng điệu trên Motivic’.”

Gần như ngay khi giọng nói của Từ Minh vang lên trong hội trường, nhiều người dưới sân khấu đều tỏ ra ngạc nhiên. Họ cảm thấy bất ngờ trước nội dung báo cáo này. Đặc biệt là những người ngồi ở hàng ghế đầu, như Katz và Sanaak, cùng với những người quen thuộc khác như Điền Cương, Trương Lỗ Bình, Khâu Thành Đồng và Đào Triết Hiên.

Họ tất cả đều không lạ gì với Từ Minh và đã có nhiều cuộc trao đổi với anh ta. Đặc biệt là trong lĩnh vực phương pháp sàng lọc đa thang đo và các nghiên cứu liên quan đến bằng chứng cho giả thuyết về các số nguyên sinh song sinh; họ hiểu rằng nội dung báo cáo tại hội nghị hôm nay của Từ Minh chắc chắn sẽ liên quan đến những công cụ sàng lọc mà anh ta đã xây dựng – bởi chính những thành tựu này mà anh ta đã được trao Giải thưởng Chen Shengshen. Nếu không thì cũng ít ra nó nên thuộc về lĩnh vực Lĩnh vực số học. Nhưng bây giờ, họ nghe thấy điều gì đây? Một tài năng mới nổi như Từ Minh lại công khai thảo luận về lý thuyết đồng điệu trong đại số hình học… “Chuyện này là thế nào vậy?” “Không phải Từ Minh trước đây đang nghiên cứu về phương pháp sàng lọc, muốn cải tiến phương pháp này để áp dụng vào việc chứng minh giả thuyết Goldbach sao? Tại sao lại đột nhiên chọn đại số hình học làm chủ đề báo cáo?” Trương Lỗ Bình trước đây đã nghe học trò mình nói rằng Từ Minh có kế hoạch chứng minh hoàn toàn giả thuyết Goldbach theo cách 1+1, nhằm khép lại quá trình nghiên cứu của Giáo sư Chen Jingrun. Và vì Từ Minh nhiều lần tuyên bố rằng mình rất tự tin với nội dung báo cáo của mình, nên họ cũng không quá lo lắng. Họ từng nghĩ rằng Từ Minh sẽ trình bày những kết quả nghiên cứu gần đây của mình, nhưng thực tế lại hoàn toàn khác… Anh ta dường như không mấy am hiểu về đại số hình học. Những suy nghĩ ấy nhanh chóng trôi qua đầu họ, khiến họ không khỏi lo lắng. “Có lẽ anh ấy có ý tưởng riêng… Có thể anh ấy đã đạt được những tiến triển đáng kể trong lĩnh vực đại số hình học.” Điền Cương nói với vẻ nghiêm túc, tiếp tục phát biểu quan điểm của mình. Trong một dịp quan trọng như thế này, anh tin chắc rằng Từ Minh sẽ không làm gì sai trái; hơn nữa, chỉ có mình anh mới hiểu rõ điều đó. Tài năng của Từ Minh không chỉ nằm ở lĩnh vực số học… Thậm chí, nó còn vượt ra ngoài phạm vi toán học, lan rộng đến nhiều lĩnh vực khác nữa. Vì vậy, việc anh ta đạt được những tiến triển mới trong lĩnh vực đại số hình học cũng hoàn toàn có thể xảy ra.

Khi lắng nghe những lời nói của Điền Cương, Trương Lỗ Bình cũng nhanh chóng bình tĩnh trở lại và sau khi đã ổn định tâm trạng, anh ta lại tiếp tục tập trung vào công việc của mình.

Dù Sa Nak cũng bất ngờ một chút, nhưng anh ta không hề xa lạ với khái niệm “đồng điệu trên các dạng phẳng” mà Từ Minh đã đề cập. Năm ngoái, trong một sự kiện trao đổi học thuật, Deligne và Từ Minh đã cùng nhau nghiên cứu về các lý thuyết liên quan đến đại số hình học; thậm chí Deligne còn tặng cho Từ Minh bản thảo của người hướng dẫn mình để anh ta tiếp tục hoàn thiện công trình nghiên cứu này.

Bây giờ, khi Từ Minh đưa ra thông tin này trong báo cáo của mình tại hội nghị, không thể không khiến Sa Nak suy nghĩ nhiều.

“Chẳng lẽ Xu đã hoàn thiện được lý thuyết đồng điệu trên các dạng phẳng sao?”

“Việc từ bỏ lĩnh vực yêu thích để chuyển sang nghiên cứu đại số hình học – một lĩnh vực đầy thách thức – thật sự là một quyết định đáng ngưỡng mộ,” Katz cũng lắc đầu và thốt lên trong lòng. Ông cảm thấy hơi tiếc nuối vì Từ Minh đã chọn con đường này.

Tuy nhiên, nếu nghĩ rằng những thành tựu trong lĩnh vực số học đã được chứng minh rõ ràng, thì việc chuyển sang đại số hình học cũng không hề khác gì việc bước ra khỏi “khu vực thoải mái” của mình… Là một người trẻ mới chỉ hơn hai mươi tuổi, việc sớm đối mặt với những thử thách mới cũng là điều bình thường.

Điều quan trọng là xem liệu họ có thể đạt được những thành tựu gì hay không…

“Thật không ngờ, họ lại thực sự bắt đầu nghiên cứu các lĩnh vực toán học khác…” Trong khi đó, khuôn mặt Giáo sư Farg cũng hiện lên vẻ ngạc nhiên. Ông không ngờ rằng việc phản ứng lại lại diễn ra nhanh đến thế.

Sáng nay, ông vừa mới chế giễu Từ Minh vì những thành tựu học thuật của anh ta chỉ giới hạn trong lĩnh vực số học; vậy mà chiều nay, báo cáo của anh ta lại xoay quanh đại số hình học… Có vẻ như đây là một động thái được chuẩn bị sẵn để đối phó với ông.

Nhưng ngay lập tức sau đó, ông nhanh chóng điều chỉnh tâm trạng và tập trung lắng nghe nội dung báo cáo của Từ Minh. Dù sao đi nữa, việc chọn một lý thuyết nào đó để nghiên cứu cũng không đơn giản; điều quan trọng là xem liệu họ có thực sự đạt được những bước tiến đột phá hay không.

Trong số những nhà toán học có mặt tại đây, người có vẻ thoải mái nhất chắc chắn là người đoạt giải Fields Prize năm ngoái – Đào Triết Hiên.

Trước đây, anh ta từng cùng với Từ Minh nghiên cứu giả thuyết về các số nguyên sinh song sinh, nhưng dư luận lại cho rằng đó là sự cạnh tranh học thuật giữa hai người, và cuối cùng anh ta đã thua cuộc trước Từ Minh.

Vì vậy, lần này anh ta quyết định tập trung vào giả thuyết Goldbach, vì vẫn lo ngại rằng lịch sử có thể lặp lại và mình lại phải chứng kiến Từ Minh giải quyết được bài toán Goldbach.

Bây giờ, khi Từ Minh chuyển sang nghiên cứu lý thuyết đồng điệu trên đại số hình học, rõ ràng là anh ta đã từ bỏ việc nghiên cứu số học để chuyển sang lĩnh vực đại số hình học, vì vậy không còn khả năng giải quyết giả thuyết Goldbach nữa.

Điều này đã mang lại cho anh ta đủ thời gian để tiếp tục nghiên cứu giả thuyết Goldbach.

“Hóa ra Từ Minh không còn ý định tiếp tục nghiên cứu sâu rộng về Lĩnh vực số học nữa…”

Anh ta thì thầm một mình, trong lòng quyết định rằng sau khi Hội nghị Toán học Quốc tế kết thúc, mình sẽ quay trở về và tập trung nghiên cứu giả thuyết Goldbach. Anh ta muốn trở thành người đầu tiên công bố việc mình đã giải quyết được bài toán này.

…

Dù Từ Minh không cố tình quan sát phản ứng của mọi người dưới khán đài, nhưng anh ta vẫn có thể đoán được phần nào những biểu hiện trên khuôn mặt mọi người. Tuy nhiên, quá trình trình bày báo cáo của anh ta vẫn diễn ra bình thường, và anh ta tiếp tục nói tiếp:

“Đồng điệu phẳng cổ điển đã giúp chúng ta bắt được cấu trúc đồng tử l-adic của một cụm X.”

“Tuy nhiên, bản thân định nghĩa của nó đã mất đi thông tin về các cấp cao hơn so với cấu trúc phức.”

“Bằng cách xây dựng các phép ánh xạ so sánh, chúng ta có thể chứng minh tính đẳng biến và các đặc tính lọc của nó, từ đó kết nối các cấu trúc phức mới với các dạng vi phân, và có thể xây dựng được một lý thuyết đồng điệu Motivic phẳng được mở rộng và hoàn thiện hơn.”

Nội dung báo cáo của Từ Minh thực chất là đưa ra một giả thuyết. Và bằng cách chứng minh giả thuyết này, anh ta hy vọng sẽ xây dựng được một lý thuyết đồng điệu phẳng được mở rộng và hoàn chỉnh hơn. Một khi giả thuyết này được chứng minh, nó sẽ cung cấp cho các vấn đề đại số hình học những công cụ có phạm vi ứng dụng rộng hơn. Giá trị và ý nghĩa của nó, ở một mức độ nào đó, không hề thấp kém so với phương pháp phân tích đa thang đại số. Điều quan trọng là với công cụ mới này, chúng ta có thể tái diễn giả thuyết Hodge một cách mới mẻ hơn.

Mặc dù sau khi nâng trình độ toán học lên cấp độ 4, Từ Minh chỉ dựa vào trực giác để xác định hướng nghiên cứu khả thi và đưa ra giả thuyết này, nhưng anh ấy vẫn rất tự tin có thể chứng minh được nó.

Vì vậy, trong suốt quá trình trình bày báo cáo, khuôn mặt anh ấy luôn toát lên vẻ tự tin và chắc chắn.

Thời gian trôi qua từng phút từng giây… Khi báo cáo sắp kết thúc, anh ấy đã chủ động đề cập đến Giả thuyết Hodge, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc áp dụng nó để phát triển lý thuyết đồng điệu trên các không gian Motivic phẳng. Anh ấy cũng cho biết sẽ tiếp tục nỗ lực chứng minh giả thuyết này một cách triệt để.

“Lý thuyết này tự nhiên mang trong mình cấu trúc tương tự như các bộ lọc Hodge, cho phép thiết lập mối liên hệ với đồng điệu trên các không gianĐà La Mốc, từ đó so sánh các đồng cấu một cách chính xác về mặt ngữ cảnh.”

“Điều này sẽ giúp xây dựng một cây cầu vững chắc hơn trong nghiên cứu về Giả thuyết Hodge.”

……

Sau khi nghe xong toàn bộ báo cáo, Falger cảm thấy nhẹ nhõm hơn; anh không ngờ Từ Minh lại chọn nghiên cứu về lý thuyết liên quan đến Giả thuyết Hodge. Ban đầu, khi thấy tiêu đề báo cáo của Từ Minh, Falger còn lo lắng rằng anh ta thực sự đã đạt được thành tựu trong lĩnh vực đại số hình học… Lúc đó, mình sẽ mất mặt đấy. Nhưng hóa ra, Từ Minh chỉ đưa ra một giả thuyết liên quan đến việc nghiên cứu Giả thuyết Hodge mà thôi.

Là một trong bảy bài toán lớn của thiên niên kỷ, Giả thuyết Hodge vẫn là thách thức lớn đối với tất cả các nhà toán học; mặc dù Viện Toán học Clay đã treo thưởng hàng triệu đô la, đến nay mới chỉ có một trong số các bài toán được giải quyết (đó là Bài toán Poincaré). Việc chứng minh Giả thuyết Hodge thực sự là điều vô cùng khó khăn.

Dù sao thì, đưa ra một giả thuyết khả thi cũng dễ dàng hơn nhiều so với việc thực sự chứng minh được nó. “Có lẽ đây chính là đặc điểm chung của những thiên tài trẻ tuổi – họ luôn nghĩ rằng mình có thể giải quyết được tất cả các bài toán khó khăn, nhưng chỉ khi thực sự gặp phải trở ngại thì họ mới hiểu được mức độ khó khăn của chúng.” Falger thầm nghĩ, và giọng nói của anh vừa đủ nhỏ để Chủ tịch Liên minh Lovats bên cạnh nghe thấy.

Sau một khoảng lặng ngắn, Lovats lên tiếng đáp lại: “Nhưng phần lớn các vấn đề đều được giải quyết theo cách này mà thôi.”

So với bầu không khí ở phía Falger, những nhà toán học chuyên nghiên cứu đại số hình học, đặc biệt là Giả thuyết Hodge, lại thấy rằng tư duy của Từ Minh thật sự rất tinh tế.

Nếu không phải vì bối cảnh hiện tại không thích hợp lắm, có lẽ mọi người sẽ ngay lập tức tiến hành suy luận trực tiếp để xác nhận tính khả thi của nó.

Trong số đó, giáo sư thuộc Học viện Khoa học Na Uy – Hòa Đăng – vào buổi sáng vừa mới chủ động làm quen với Từ Minh. Khi thấy Từ Minh kết thúc bài báo và bước xuống khỏi sân khấu, ông ta lập tức tiến về phía anh ta.

Người đàn ông này trông rất hào hứng và không ngần ngại dành những lời khen ngợi cho Từ Minh:

“Thật tuyệt vời!”

“Xu…”

“Lý thuyết bạn đề xuất về việc xuất phát từ các cấu trúc Motivic để xây dựng các hình thức đồng điệu đã giúp tôi giải quyết được một vấn đề đang gây băn khoăn.”

“Dù là việc xây dựng một sự đồng nhất giả hay chứng minh các tính chất liên quan đến việc lọc các đối tượng đồng điệu, tất cả đều rất thông minh và tinh tế. Nếu có thể hoàn thành việc chứng minh này một cách triệt để, chúng ta sẽ có thể áp dụng nó để biểu diễn giả thuyết Hodge dưới dạng tương đương.”

“Đây chính là một hướng tiếp cận mới trong việc giải quyết giả thuyết Hodge.”

Mặc dù không quá quen biết với Từ Minh, nhưng khi thấy người khác đánh giá cao lý thuyết của mình, Từ Minh đã dừng lại và ngay lập tức cảm ơn ông ta:

“Cảm ơn.”

“Tôi tin chắc rằng bài báo của bạn sẽ sớm gây ra nhiều cuộc thảo luận sôi nổi tại Thế giới toán học.” Hòa Đăng nói với vẻ hào hứng: “Điều này sẽ mở ra một hướng nghiên cứu hoàn toàn mới cho rất nhiều nhà toán học.”

Khi hai người đang trò chuyện, Từ Minh bất chợt nhận thấy Sa Nak cùng với giáo viên của mình cũng đang đi về phía mình; rõ ràng họ có rất nhiều điều muốn hỏi.

Và quả thực, ngay khi Sa Nak tiến lại gần, ông ta không chần chừ mà bắt đầu trò chuyện:

“Xu…”

“Bài báo của bạn thực sự đã mang lại bất ngờ lớn cho mọi người.”

“Không ngờ bạn thực sự đã hoàn thiện được hệ thống đồng điệu trên cấu trúc Motivic. Nếu Giáo sư Deligne nhìn thấy bài báo hôm nay, chắc chắn ông ấy sẽ rất vui mừng và muốn thảo luận với bạn.”

“Tôi cũng rất mong được trao đổi với Giáo sư Deligne. Dù sao thì vẫn còn nhiều vấn đề khó khăn cần được chứng minh liên quan đến lý thuyết này.” Từ Minh đáp lại một cách nhanh chóng.

Thực ra, dù Sa Nak không nhắc đến điều này, nhưng vì Từ Minh đã quyết định tiếp tục hoàn thiện hệ thống này để nghiên cứu giả thuyết Hodge, việc trao đổi với Deligne là điều không thể tránh khỏi.