Phương pháp “Vòng tròn” có tên đầy đủ là “Phương pháp Vòng tròn của Hardy-Littlewood”, không chỉ là công cụ quan trọng để nghiên cứu giả thuyết Goldbach mà còn là công cụ thường xuyên được sử dụng trong lý thuyết số học.

Việc phát minh ra công cụ này không liên quan đến vấn đề Goldbach. Quan điểm chung hiện nay trong giới toán học là khái niệm này lần đầu tiên xuất hiện khi Hardy cùng Ramanujan nghiên cứu vấn đề “phân tích tiệm cận về việc phân tích các số nguyên thành tổng của các số nguyên tố”, và sau đó được hoàn thiện khi Hardy hợp tác với Littlewood nghiên cứu vấn đề Waring.

Ngày nay, với tư cách là công cụ quan trọng để nghiên cứu giả thuyết Goldbach, phương pháp này đã được các nhà toán học sau này phát triển thêm.

Chẳng hạn, Herrmann Gödel trên bục giảng chính là một chuyên gia hàng đầu trong lĩnh vực lý thuyết vòng tròn ngày nay.

“… Nội dung của giả thuyết Goldbach là bất kỳ số chẵn nào lớn hơn 2 đều có thể biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố; chúng ta gọi đây là giả thuyết A.”

“… Vì một số lẻ trừ đi một số nguyên tố lẻ sẽ cho kết quả là một số chẵn, nên giả thuyết A cho rằng mọi số chẵn đều có thể biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố; từ đó, có thể suy luận ra giả thuyết B: bất kỳ số lẻ nào lớn hơn 9 đều có thể biểu diễn thành tổng của ba số nguyên tố lẻ.”

Sau phần mở đầu này, Herrmann Gödel dừng lại một chút rồi tiếp tục nói:

“Và ‘phương pháp Vòng tròn’ mà tôi sắp giải thích chính là công cụ để chứng minh giả thuyết yếu của giả thuyết Goldbach, đó chính là giả thuyết B!”

Nếu giả thuyết A đúng, thì giả thuyết B chắc chắn cũng đúng. Nhưng ngược lại thì không.

Lý do cho điều này liên quan đến một vấn đề thú vị trong logic toán học; khó có thể mô tả bằng toán học cơ bản, nhưng nếu diễn giải bằng ngôn ngữ thông thường, thì đó là “tập hợp các số lẻ lớn hơn 9 được tạo thành từ tổng của các số nguyên tố lẻ” không tương đương với “tập hợp các số chẵn”, và tập hợp giao của chúng chứa vô số phần tử, không thể được liệt kê hết được.

Nói một cách trừu tượng, dù là “tập hợp các số chẵn” trong phương pháp Vòng tròn hay “dạng 1+1” trong phương pháp Sàng lọc, cả hai đều còn thiếu bước cuối cùng để hoàn thành công việc.

Khoảng cách này có thể giống như một con sông ngăn cách, hoặc như hai ngọn núi đối diện nhau.

Sau phần mở đầu ngắn gọn, Herrmann Gödel không lãng phí thời gian nữa, ông viết một dãy công thức lên bảng đen:

【… Khi N > 2, ta có r³(N) = 1/2n · (N²/N³) · ∏(1 – 1/(p–1)²) · ∏(1 + 1/(p–1)²), với (1 + O(1)).】

Ngay khi nhìn thấy dãy công thức này, ánh mắt Lục Chu bỗng

Chính vì lý do đó mà anh ấy cảm thấy rất ấn tượng với điều này.

Có vẻ như buổi báo cáo này khá thú vị đấy.

Người đàn ông già đứng trước bảng đen không nói gì, tiếp tục viết lách bằng bút đánh dấu.

Không gian trong hội trường yên tĩnh đến nỗi chẳng ai nói tiếng.

Không chỉ Lục Chu nghe rất chăm chú, mà các vị lãnh đạo khác cũng đang tập trung lắng nghe.

Mỗi người đều có lĩnh vực chuyên môn riêng; ngay cả những người giỏi nhất cũng không thể ngay lập tức hiểu sâu về lĩnh vực của người khác. Vì vậy, các bài báo cáo thường được đăng trên trang web của hội nghị trước đó để mọi người có thời gian chuẩn bị và ghi lại những câu hỏi muốn đặt ra.

Nếu buổi báo cáo không trả lời được những thắc mắc của mình, thì việc đặt câu hỏi trong phần trả lời là cách thức đúng đắn để tham gia buổi học thuật, chứ không chỉ đơn giản là đến xem và vỗ tay mà thôi.

Sau hơn bốn mươi phút, Helfgott ngừng viết và quay đầu nhìn vào hội trường.

“Quá trình chứng minh cơ bản là như vậy; nếu có bất kỳ thắc mắc nào, bây giờ các bạn có thể đặt câu hỏi.”

Lục Chu giơ tay lên.

Helfgott nhìn thẳng vào mắt Lục Chu và gật đầu, cho phép anh ấy lên phát biểu.

Lục Chu liếc nhìn vào ghi chú của mình, sau đó đứng dậy và đặt câu hỏi:

“Về phương trình bạn đưa ra ở hàng thứ 34, tôi có một số thắc mắc. Trong phép tính =∑a(n)z^n+δ(n), làm thế nào bạn có thể xác định được từng giá trị của n?

Tôi đoán rằng bạn có thể đã sử dụng định lý Cauchy-Goursat hoặc luận bổ của nó – định lý về lưu số. Nhưng làm thế nào bạn có thể xác định được rằng hàm f(s) là hàm toàn hợp?”

Tiếng thì thầm bắt đầu lan truyền trong hội trường.

Rõ ràng, câu hỏi của Lục Chu đã chạm đến điểm quan tâm của nhiều người.

“Câu hỏi này rất hay,” Helfgott nhìn Lục Chu một cách ngạc nhiên, sau đó quay lại bảng đen và viết xuống một dòng công thức, rồi gõ nhẹ vào đó bằng bút đánh dấu. “Hiểu chưa?”

Nhìn thấy dòng công thức đó, Lục Chu có vẻ như đã hiểu ra điều gì đó, anh gật đầu.

“Đã hiểu, cảm ơn.”

Lục Chu cúi đầu lịch sự rồi ngồi xuống, đồng thời ghi lại dòng công thức mới được bổ sung lên sổ tay của mình.

Mặc dù công trình nghiên cứu chính của anh ấy là về phương pháp sàng lọc, nhưng phương pháp của ông Helfgott cũng mang lại nhiều ý tưởng mới cho công việc nghiên cứu của anh. Nghiên cứu khoa học chính là như vậy: thông qua việc trao đổi và thảo luận, chúng ta có thể hoàn thiện lý thuyết của mình và tạo ra những quan điểm mới từ những va chạm tư duy.

Khi Lục Chu đ

Lý do gọi cô ấy là “cô gái trẻ” là bởi vì trông cô ấy còn khá trẻ; chiều cao của cô ấy thấp hơn một chút so với Lục Chu, có lẽ cô ấy đang là sinh viên đại học tại Đại học Berkeley… Nếu nói rằng cô ấy là sinh viên sau đại học, thì Lục Chu chắc chắn sẽ không tin đâu.

Mặc dù phát âm tiếng Anh của cô ấy hơi gượng ép, nhưng giọng nói của cô ấy rất nhẹ nhàng và ngạc nhiên thay lại khá dễ nghe.

Dù giọng nói có hay không, đối với Lục Chu mà nói, chỉ cần ai đó muốn thảo luận về các vấn đề toán học với anh, miễn là không phải để gây rối, anh sẽ không bao giờ từ chối. Vì vậy, anh liền nói một cách thoải mái: “Cứ hỏi đi.”

Cô gái đó chớp mắt, có vẻ hơi ngượng ngùng, rồi chỉ vào bảng đen và nói: “Xin lỗi, ông… vừa rồi ông đã hiểu điều gì rồi ạ?”

Nhìn vào dãy công thức đó, cô ấy hoàn toàn không hiểu gì cả.

“Cô đang hỏi về biểu thức đó à?” Có lẽ đoán được câu hỏi của cô ấy, Lục Chu kiên nhẫn giải thích: “Bởi vì trong dãy công thức đó, I(n) = ∫{f(s)/s^(n+1)}ds = 2πi/n, đây là một tích phân đường kín, vì vậy khi quay trở lại công thức ban đầu, chúng ta có thể trực tiếp áp dụng định lýLiú Số. Cách giải thích của Giáo sư Helgoft có vẻ hơi lộn xộn, thật sự khó hiểu, cần phải suy nghĩ kỹ hơn một chút.”

Nghe Lục Chu giải thích, cô gái đó vội vàng ghi chép lại vào sổ tay.

Qua cách cô ấy ghi chép tỉ mỉ từng chi tiết, Lục Chu càng thêm tin chắc vào suy đoán của mình – có lẽ cô ấy đang học đại học.

Nhưng liệu một sinh viên đại học có thể hiểu được loại bài giảng này không nhỉ?

Sợ cô ấy ngại hỏi, Lục Chu liền hỏi thêm: “Còn điều gì khác cần hỏi không?”

“Cảm ơn, không còn gì nữa… Xin lỗi, có thể cho tôi biết email của ông được không? Tôi vẫn còn rất nhiều câu hỏi muốn hỏi ông…” Vì quá căng thẳng, cô gái trẻ này vô tình cắn phải lưỡi, mặt cô ấy đỏ bừng lên.

Rõ ràng, cô ấy không rất giỏi trong việc giao tiếp với người khác.

Lục Chu cũng không phải là người giỏi giao tiếp lắm, vì vậy anh cũng không quan tâm lắm, và chỉ nói: “Không sao đâu. Hơn nữa, bạn không cần phải luôn nói ‘xin lỗi’ đâu. Tên tôi là Lục Chu, còn tên bạn là gì?”

“Tôi biết tên ông là Lục Chu, tôi đã gặp ông tại buổi lễ khai giảng,” có lẽ đột nhiên nhớ ra mình vẫn chưa tự giới thiệu, cô gái đó e ngại bổ sung: “Tên tôi là Vi La, tôi đang học tại Berkeley… Tôi rất quan tâm đến toán học thuần túy, đặc biệt là lĩnh vực số học.”

Vi La?

Ng

“17….”

Lục Chu nhìn cô một cách ngạc nhiên: “17 tuổi đã có thể vào đại học Berkeley à?”

Ở độ tuổi này, anh vẫn chưa tốt nghiệp trung học phổ thông cơ mà.

“Tôi được miễn thi và được nhận vào IMO với huy chương vàng…” Vĩ La cười e lệ, giọng nói đầy ngưỡng mộ, “Dĩ nhiên, so với ngài – người đã giải quyết được hai đề xuất toán học quan trọng – thì điều đó không đáng kể gì cả…”

Lục Chu ngập ngừng một lát rồi nói: “…Không, việc giành huy chương vàng tại Olympic Toán học đã là thành tích rất xuất sắc rồi. Cô có thể tự tin hơn một chút, đừng tự ti quá. Thật đáng ngạc nhiên khi cô chỉ mới 15 tuổi đã giành huy chương vàng… Vậy cô bắt đầu học trung học phổ thông từ bao nhiêu tuổi?”

Đúng lúc đó, người cuối cùng đặt câu hỏi cũng đã hoàn thành phần của mình. Khi thấy không ai tiếp tục đặt câu hỏi nữa, ông Herffgott trên sân khấu liền tuyên bố buổi báo cáo kết thúc.

“Về việc chứng minh hoàn toàn đề xuất Goldbach, chúng ta vẫn còn rất nhiều công việc phía trước.”

“Buổi báo cáo của tôi kết thúc ở đây. Cảm ơn mọi người đã đến dự!”

Ông Herffgott gật đầu nhẹ, rồi bước xuống khán đài trong tiếng vỗ tay.

Vì chưa từng tham gia cuộc thi IMO, Lục Chu khá quan tâm đến chủ đề này. Ban đầu anh cũng muốn trò chuyện thêm với cô gái nhỏ bé này, nhưng thấy đã muộn và anh cũng còn một số việc cần làm, nên anh quyết định để lại chuyện đó sang ngày khác, thu dọn ghi chú rồi rời khỏi hội trường.