Có lẽ là vào đầu năm đó, khi Lục Chu vẫn chưa kéo Trần Dương từ Trung tâm Toán học của Yên Đại về đây, thì giáo sư Trần Dương đã bắt đầu nghiên cứu Giả thuyết Hodge rồi.

Lục Chu vẫn nhớ rõ, lúc đó ông ấy đang trình bày phương pháp phân tích đường cong siêu elip trên bảng đen, và đã sử dụng một cách tiếp cận rất thông minh để cải tiến công cụ toán học ban đầu được thiết kế cho Giả thuyết Riemann chuẩn này, sau đó áp dụng nó trực tiếp vào nghiên cứu về động lực học đại số của các cụm đại số phức không kỳ dị, cũng như các vấn đề liên quan đến định nghĩa các cụm con được biểu diễn bởi các phương trình đa thức.

Chính nhờ thành tựu xuất sắc này mà Lục Chu không khỏi muốn chiêu mộ ông ấy, và đã kéo Trần Dương từ Trung tâm Toán học của Yên Đại về đây.

Đã gần một năm trôi qua, nhưng dự án nghiên cứu về Giả thuyết Hodge vẫn chưa có chút tiến triển nào. Thêm vào đó, trong thời gian gần đây, Lục Chu luôn bận rộn với việc nghiên cứu lý thuyết thống nhất đại số hình học, đến nỗi ông gần như quên mất vấn đề này.

“Đi thôi, vào văn phòng tôi nói chuyện.”

Dẫn Trần Dương vào văn phòng của mình, Lục Chu tự mình kéo một tấm bảng trắng đến góc phòng và đưa cây bút đánh dấu cho anh ấy.

Không lãng phí thời gian vào những lời nói không cần thiết, sau khi nhận lấy cây bút, Trần Dương đứng trước bảng và suy nghĩ một lát, rồi vẽ một vòng tròn trên bảng, đánh dấu chữ “S” bên cạnh và viết xuống một dòng công thức:

“…Đối với một bề mặt đầy đủ và không có ranh giới như S, độ cong Gauss K có thể được tích phân trên toàn bộ bề mặt đó.”

Trong lúc viết, Trần Dương tiếp tục giải thích:

“Như mọi người đều biết, một bề mặt không nhất thiết chỉ có thể sử dụng một hệ đo lường duy nhất, vì vậy tôi đã thử thay đổi hệ đo lường của S. Sau khi thay đổi hệ đo lường, độ cong Gauss K tương ứng cũng sẽ thay đổi, nhưng giá trị của phép tích phân lại không liên quan đến hệ đo lường đó, mà chỉ liên quan đến số Euler X(S) của bề mặt. Nhờ đặc tính này, chúng ta có thể—”

Nhìn vào công thức trên bảng, Lục Chu nhẹ nhàng nhướng mày và nói với vẻ hứng thú:

“Công thức Gauss?”

Trần Dương gật đầu và trả lời:

“Đúng vậy.”

Nói xong, anh ấy viết công thức Gauss lên bảng.

Nhìn thấy điểm kết thúc tuyệt vời này, vẻ hứng thú trên khuôn mặt Lục Chu càng trở nên rõ rệt hơn.

Thực ra, ông gần như đã đoán ra ý định của Trần Dương là gì.

Theo đặc tính của các dạng hình Riemann nhiều chiều M, độ cong Gauss có thể được mở rộng thành độ cong của các mặt cắt, và giá trị của nó có thể được xác định bởi tensor

Còn về hàm tích đó, thì nó là một biểu thức đại số rất phức tạp được tạo thành từ tensor độ cong – chính là hàm tích Gauss.

Việc tích phân hàm này trên toàn bộLưu hình được quyết định bởi số đặc trưng Euler X(M) củaLưu hình đó.

Bằng cách sử dụng những đặc tính này, người ta có thể mở rộng lý thuyết Hodge ra cácLưu hình không khép kín hoàn chỉnh.

Những ý nghĩa toán học sâu sắc này được giáo sư Trần Dương khám phá ra, và chúng chính là nội dung toán học trong công thức nổi tiếng Gauss–Trần Dương.

Khi kết hợp với phương pháp đồng điệu trên L² của Ngài Atiyah, nếu tiếp tục theo hướng này, có lẽ chúng ta thực sự có thể chứng minh được giả thuyết này.

Tất nhiên, để biết cụ thể phải làm thế nào để chứng minh, vẫn cần phải nghiên cứu sâu hơn nữa.

Nghĩ đến đây, Lục Chu gật đầu đầy đồng tình.

Thật tuyệt vời…

Không hiểu từ khi nào, phía sau Trần Dương đã có một nhóm người đứng xung quanh.

Ngay từ khi anh ấy bắt đầu viết lên bảng, mọi người trong văn phòng đã chú ý đến hướng đó.

Nhìn vào các công thức trên bảng, Quý Mặc ánh mắt sáng lên, nói nhỏ một cách hào hứng: “Đây… chẳng lẽ chính là thứ được mọi người gọi là…”

Thấy đệ tử mình nói dang dở, Hà Xương Văn cau mày và nói nhỏ: “Cuối cùng là cái gì vậy? Đừng làm người ta tò mò nữa.”

Quý Mặc nhìn anh ta một cách ngạc nhiên.

“À, đó là giả thuyết Hodge mà! Rõ ràng mà.”

Hà Xương Văn: “…”

Chỗ nào rõ ràng chứ?!

Nhưng nhìn kỹ lại, có vẻ như đúng là vậy.

Nghĩ đến đây, Hà Xương Văn tự an ủi bản thân:

Ừm, nếu suy nghĩ kỹ thì anh ấy cũng có thể nhận ra được mà.

Bút trên bảng đã dừng lại, Trần Dương chìm vào suy tư.

Rõ ràng, anh ấy mới chỉ đi được nửa chặng đường trên con đường này; về phần tiếp theo, anh ấy vẫn chưa nghĩ ra cách tiếp cận nào cụ thể.

Bỗng nhiên, giáo sư Perelman, người đã đứng bên cạnh và im lặng suốt thời gian qua, lên tiếng:

“Con đường suy luận này có vẻ khá thú vị.”

Quay đầu nhìn giáo sư Perelman, Trần Dương hơi ngạc nhiên và hỏi:

“Giáo sư đến đây từ khi nào vậy?”

“Khoảng khi bạn vừa viết đến nửa chặng đường… Tôi đến đây để tìm Lục Giáo Thụ, không ngờ lại tìm thấy những điều thú vị như thế này,” giáo sư Perelman dừng lại một chút, rồi tiếp tục: “…Có thể cho tôi mượn cây bút được không?”

Không do dự gì, Trần Dương ngay lập tức đưa chiếc bút đó cho giáo sư Perelman.

Nhận lấy cây bút từ tay Trần Dương, giáo sư Perelman đứng trước bảng và suy nghĩ một lát, sau đó viết

“Vì đã có một lý thuyết đồng nhất về đại số hình học sẵn sàng để áp dụng, nên tôi sẽ bỏ qua phần chứng minh của công thức (3).”

“…Ý kiến của tôi là, đối với các phần chứng minh tiếp theo, chúng ta có thể nâng cao vấn đề liên quan đến manh mạch khép M lên các manh mạch bao phủ tổng quát hơn, từ đó thu được các manh mạch không khép M hoàn chỉnh.”

“Theo định lý của Atiyah, nếu chúng ta có thể chứng minh rằng, trong điều kiện của độ cong cắt ngang, tất cả các nhóm đồng điệu L2 ngoại trừ nhóm ở giữa đều bằng không…”

Nói xong, anh ta nhẹ nhàng rung bút và nhanh chóng viết xuống một dòng công thức ngắn gọn nhưng đẹp đẽ:

【H^n(M) ≠ {0}, và khi q ≠ n thì H^q(M) = {0}】

Ngay khi nhìn thấy dòng công thức này, đồng tử của Trần Dương hơi co lại. Biểu cảm trên khuôn mặt anh ta lập tức hiện ra vẻ hiểu biết sâu sắc; anh ta kiềm chế cảm xúc hào hứng và nói:

“…Chúng ta sẽ có thể chứng minh được Giả thuyết Hodge!”

Nhưng vấn đề đặt ra là: Làm thế nào để chứng minh rằng, trong điều kiện của độ cong cắt ngang, tất cả các nhóm đồng điệu L2 ngoại trừ nhóm ở giữa đều bằng không?

Cuộc trò chuyện đột nhiên dừng lại ở đây. Sau khoảnh khắc hào hứng ngắn ngủi, cả hai đều im lặng một cách tự nhiên. Cuối cùng, họ đều nhìn về phía Lục Chu.

Lục Chu, nhận thấy hai người đang nhìn mình mà suốt quá trình đó chưa nói một lời nào, bỗng nhiên chớp mắt và cười nói:

“Tôi nghĩ ý tưởng của các bạn đều rất hay… Mặc dù tôi chưa nghiên cứu kỹ lưỡng về vấn đề này, nhưng trực giác mách bảo tôi rằng nếu theo con đường này tiếp tục, chúng ta chắc chắn sẽ đạt được thành quả.”

Anh ta dừng lại một chút rồi tiếp tục:

“Khái niệm này thật sự rất thú vị; ý kiến của tôi là, các bạn nên cùng nhau nghiên cứu về vấn đề này.”

Có cảm giác như Lục Chu dường như đã nhận ra điều gì đó, nhưng lại không giải thích rõ ràng.

Perelman nhăn mày và do dự hỏi:

“Anh không tham gia sao? Đây là một vấn đề rất thú vị đấy.”

Không chỉ thú vị… Giả thuyết Hodge có thể được coi là biểu hiện tập trung của những đặc tính trừu tượng trong sự phát triển của toán học hiện đại; nó nghiên cứu mối liên hệ nội tại giữa ba lĩnh vực lớn của toán học: phân tích, topologie và đại số hình học.

Về mặt độ khó, với tư cách là một trong những “Bài toán thiên niên kỷ”, điều này hiển nhiên là không cần phải nghi ngờ gì nữa.

Điều khiến Perelman ngạc nhiên là Lục Chu dường như không thể hiện ra sự quan tâm mạnh mẽ đến vấn đề này.

Lục Chu nói:

“…Mặc d

Nghe được tin này, khuôn mặt của Perelman hiện lên vẻ tiếc nuối.

“Thật là đáng tiếc quá.”

“Mặc dù tôi e rằng không thể dành thời gian giúp đỡ, nhưng tôi xin nhiệt liệt giới thiệu cho bạn Giáo sư Trần Dương,” Lục Chu vỗ vai Trần Dương và cười nói, “Ông ấy là một học giả xuất sắc; tôi tin rằng bạn cũng đã biết về năng lực của ông ấy rồi, nên tôi không cần phải nói thêm nữa. Nói chung, nếu hai người hợp tác với nhau, tôi tin chắc rằng vấn đề này sẽ được giải quyết.”

Mặc dù có chút nghi ngờ trước những lời nói quá chắc chắn như vậy, nhưng sau khi nhìn vào Giáo sư Trần Dương, Perelman cũng không nói gì thêm, chỉ gật đầu, có vẻ như ông ấy đồng ý với đối tác hợp tác này.

Cả hai đều là kiểu người ít nói, không có nhiều cuộc trò chuyện với nhau.

Sau khi ho khan một cái, Lục Chu tiếp tục nói với Perelman:

“Nói thật ra, việc bạn tiếp tục ở lại đây có vấn đề gì không? Lý thuyết thống nhất đại số và hình học đã được hoàn thành rồi.”

“Không có vấn đề gì cả,” Perelman lắc đầu, “Tôi đã nói chuyện với mẹ mình, bà ấy bảo tôi nên làm những điều mình muốn, không cần quá lo lắng về bà ấy. Thực ra, tôi vẫn còn một số việc chưa hoàn thành; tôi dự định sẽ ở lại đây… thêm một thời gian nữa để giải quyết giả thuyết Hodge trước khi trở về.”

Mặc dù khá ngạc nhiên khi Giáo sư Perelman quyết định ở lại, nhưng Lục Chu tự nhiên là không từ chối điều tốt đẹp này, và ngay lập tức cười nói:

“Vậy thì bạn vẫn ở căn hộ cũ đi nhé; tôi sẽ giúp bạn xin gia hạn thời gian sử dụng căn hộ.”

Perelman gật đầu và cảm ơn.

“Cảm ơn bạn.”