“Không phải đâu, Randolph, tôi biết anh rất tự tin. Khi tôi còn ở độ tuổi của anh, tôi đã giải quyết được một vấn đề quan trọng trong lĩnh vực vật lý toán học và đạt được những bước tiến đột phá; lúc đó, tôi cũng tự tin như anh vậy.

Tôi cảm thấy Giải Nobel Vật lý đang chờ đợi mình… Giải Fields chỉ là chuyện nhỏ thôi. Nhưng bây giờ tôi đã hơn sáu mươi tuổi rồi; không còn Giải Fields nữa, càng không có Giải Nobel nào cả.

Việc người trẻ tự tin là điều tốt, nhưng lực hấp dẫn của thực tế sẽ kéo họ trở lại với hiện thực.

Ngoài ra, Randolph, tôi muốn nhắc anh một điều: Cuộc họp quốc tế Nhà toán học gần nhất diễn ra vào hai năm sau, vào năm 2022. Chỉ còn nửa năm nữa thôi… Vào thời điểm đó, sẽ không có giải Fields nào được trao cả.”

Mikhail Lyubichev buộc phải thừa nhận rằng mình khá thích người này. Anh ta hoàn toàn khác biệt so với những người Hoa mà ông từng gặp.

New York là thành phố có nhiều người Hoa nhất nước Mỹ; tại Trường Đại học Stony Brook, số lượng sinh viên gốc Hoa và các nghiên cứu sinh Quốc gia Hoa thực sự rất đông.

Trong những năm qua, Mikhail Lyubichev đã gặp không ít sinh viên, đồng nghiệp người Hoa, cũng như các đồng nghiệp người Hoa tại các hội nghị khoa học. Những người Hoa khác đều rất khiêm tốn. Ngay cả những người Quốc gia Hoa Nhà toán học có cơ hội thuyết trình trong một giờ tại hội nghị quốc tế Nhà toán học, khi đối mặt với lời khen ngợi của đồng nghiệp, họ vẫn luôn nói rằng mình còn nhiều điều cần cải thiện, và rằng có nhiều người khác giỏi hơn mình.

Nhưng người kiêu ngạo như Lâm Nhân này thì là lần đầu tiên ông gặp.

“Giáo sư Lyubichev, ý tôi là chỉ cần nửa năm thôi… Chỉ cần nửa năm là đủ để việc ai sẽ giành Giải Fields năm 2022 trở nên rõ ràng.” Lâm Nhân nói một cách bình thản.

Mikhail Lyubichev không còn do dự nữa; ông không muốn làm tổn thương người trẻ này vào lúc họ đang đầy tự tin. Tất cả những gì cần nhắc nhở đã được nói rõ ràng rồi: “Tôi rất mong chờ khoảnh khắc đó đến.”

Lâm Nhân nói tiếp: “Giáo sư Lyubichev, ông sẽ sớm thấy thôi… Nhưng tôi vẫn cần sự giúp đỡ nhỏ từ nhà trường.”

Mikhail Lyubichev đáp: “Tất nhiên, đó là trách nhiệm mà nhà trường phải đảm nhận. Hãy nói xem, anh cần sự hỗ trợ của giáo sư nào… Thành thật mà nói, những ngày gần đây tôi cũng đang suy nghĩ về vấn đề này. Bạn biết đấy, Trường Đại học Stony Brook không mấy giỏi lĩnh vực số học lý thuyết.”

Sự giao thoa giữa đại số hình học và lý thuyết số còn ít hơn nữa. Có lẽ chỉ có một vài giáo sư đã thực hiện một số công trình liên quan, nhưng mức độ tương quan vẫn rất yếu, nên khó có thể cung cấp cho bạn những hướng dẫn hiệu quả.” Mikhail Lyubich chưa kịp nói hết, ông muốn chia sẻ tin tốt là Lâm Nhân không cần phải chờ đợi lâu nữa; một giáo sư có nhiều điểm tương đồng trong nghiên cứu với Lâm Nhân sẽ sớm đến tiếp quản công việc.

Lâm Nhân nói: “Không, tôi không có ý đó. Tôi muốn nói rằng, hiện tại tầm ảnh hưởng của tôi còn hạn chế; để các báo cáo khoa học về những công trình toán học tiên tiến của mình được tổ chức thành công, tôi không thể luôn phiền lòng Terri. Tôi hy vọng Trường Đại học Shixi có thể giúp tôi tổ chức những buổi họp có sự tham gia của những người có ảnh hưởng trong lĩnh vực Nhà toán học, để tôi có thể nhanh chóng lan tỏa danh tiếng của mình ra khắp Giới Toán học.”

Vào năm 2020, ánh sáng của một giáo sư cũng cần phải chiếu rọi khắp Giới Toán học. Mikhail Lyubich ngay lập tức hỏi: “Vậy là bằng chứng dạng yếu của giả thuyết Goldbach của bạn đã được các đồng nghiệp xem xét chưa? Chẳng lẽ bạn lại có những thành tựu mới nào sao?”

Mikhail Lyubich có thể đoán được nguồn gốc của sự tự tin của Lâm Nhân – chắc chắn là do có những thành tựu mới. Chỉ khi có thành tựu thì mới có thể tự tin đến thế. Nghĩa là, Lâm Nhân vẫn còn giữ lại những thành tựu chưa được công bố.

Lâm Nhân nói: “Tất nhiên, trong vòng nửa năm tới, tôi sẽ công bố một loạt các thành tựu mới. Tôi hy vọng Trường Đại học Shixi có thể giúp tôi tổ chức một cuộc họp qua Zoom. Ý tưởng của tôi là trước hết sử dụng các công cụ toán học thuần túy để nâng giới hạn vô điều kiện của giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh lên mức 246, sau đó hoàn toàn giải quyết được giả thuyết này bằng các công cụ toán học thuần túy. Trong quá trình này, những ý tưởng và lý thuyết toán học của tôi cần được truyền bá rộng rãi trong cộng đồng Giới Toán học thông qua nhiều cuộc họp khoa học. Và điều này cần sự hỗ trợ từ Trường Đại học Shixi.”

Mikhail Lyubich cảm thấy rất ngạc nhiên. Thực sự là rất ngạc nhiên. Bởi vì vào năm 2013, Zhang Yitang đã chứng minh được giới hạn của giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh, và vào năm 2014, các nhà khoa học trên toàn thế giới đã sử dụng các công cụ hỗ trợ máy tính để giảm giới hạn đó xuống còn 246.

Trong số đó, nếu không sử dụng sự hỗ trợ của máy tính, thì tối đa cũng chỉ có thể đạt được con số 600 mà thôi; bằng chứng này đã được hoàn thành vào tháng 11 năm 2013.

Nghĩa là, từ tháng 11 năm 2013 cho đến ngày hôm nay, trong suốt hơn sáu năm, rất nhiều người đã thử sức, sử dụng các công cụ toán học thuần túy để chứng minh giới hạn trên 246 cho giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh.

Nhưng sau hơn sáu năm, vẫn chưa ai thành công.

(P.S.: Không chỉ là hơn sáu năm đâu; cho đến năm 2025, vẫn chưa ai làm được.)

Mikhail Lvovich suy nghĩ một lát và hỏi: “Giả thuyết Goldbach dạng yếu cũng sử dụng phương pháp kết hợp nhiều lĩnh vực khác nhau… Vậy phương pháp bạn đã sử dụng cho giả thuyết Goldbach có thể áp dụng được cho giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh không?”

“Không, không thể áp dụng được đâu. Giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh khác với giả thuyết Goldbach; việc chứng minh giới hạn trên 246 cho giả thuyết này là một phương pháp thuần túy của lý thuyết số. Chỉ cần sử dụng những ý tưởng cơ bản của lý thuyết số là đủ, không cần quá phức tạp. Tuy nhiên, để giải quyết triệt để giả thuyết này, vẫn cần sự kết hợp từ nhiều lĩnh vực khác nhau.”

Mikhail Lvovich tỏ ra nghi ngờ: “Vậy bạn dự định bắt đầu vào lúc nào?”

Lâm Nhân trả lời: “Có thể bắt đầu bất cứ lúc nào, tùy vào việc Trường Đại học Shixi có thể sắp xếp thời gian cho tôi hay không. Khi thời gian đã được ấn định, tôi sẽ đăng bài báo lên Arxiv ba ngày trước khi bắt đầu buổi thảo luận.”

Mikhail Lvovich nói: “Được thôi, vậy ba ngày sau nhé. Bạn hãy đăng bài ngay hôm nay đi; về phần cuộc họp qua Zoom, bạn yên tâm đi, dù có sự chênh lệch múi giờ, tôi cũng sẽ sắp xếp mọi thứ cho bạn.”

Dù sao thì cũng phải thử mới biết được kết quả thế nào. Nếu bạn có thể chứng minh được điều đó, Trường Đại học Shixi chắc chắn sẽ tạo điều kiện thuận lợi hơn cho bạn. Rõ ràng, việc sử dụng các công cụ toán học thuần túy để giảm giới hạn trên của giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh xuống còn 246 đã là một thành tựu đủ lớn để đăng trên những tạp chí hàng đầu thế giới. Có không ít tiến sĩ trên thế giới có thể làm được điều này, nhưng khi con số đó giảm xuống còn 2, số người có thể làm được lại trở nên rất ít. Việc trong vòng một tháng có thể đăng liên tiếp hai bài báo trên những tạp chí hàng đầu thì càng hiếm hoi hơn nữa. Ai mà không vội vàng công bố thành quả của mình sau khi đạt được chúng chứ? Làm sao có thể giữ kín thành quả đó mãi được? Những tiến sĩ có thể đăng bài tr

“Sao cậu lại bắt đầu thực hiện dự án tương tự như Chương trình Apollo vậy? Tại sao giờ đây nó lại trở nên quy mô lớn hơn nhiều như vậy?”

Lý Tiểu Mạn trở về New York sau chuyến đi dài từ chi nhánh Buffalo của Đại học Bang New York.

Như đã đề cập trước đó, dù cùng thuộc Đại học Bang New York, nhưng khoảng cách giữa chi nhánh Buffalo và chi nhánh Stony Brook khá xa.

Vì đại dịch virus và việc học từ xa, ban đầu Lý Tiểu Mạn cũng muốn trở về nhà, nhưng vẫn chưa quyết định được.

Sau khi đọc tin nhắn WeChat của Lâm Nhân, cô quyết định trở về ngay, dù phải đối mặt với những người anh chị họ phiền phức.

“Làm sao tôi không biết cậu lại có tài năng như vậy!” Lý Tiểu Mạn thực sự rất ngạc nhiên.

Sau khi đọc tin nhắn đó, cô biết ngay tên Lâm Nhân là Fields. Rồi cô tìm kiếm thông tin trên mạng… Và thật bất ngờ! Chỉ trong vòng hơn một tháng, Randolph Lin đã đạt được những thành tựu lớn lao như vậy, trở thành ngôi sao mới nổi trong giới học thuật người Hoa.

“Không phải chúng ta đã thỏa thuận rằng sẽ lừa Besose sao? Tại sao bỗng nhiên cậu lại thành công trong lĩnh vực học thuật như vậy?” Dù là sinh viên ngành khoa học xã hội, nhưng Lý Tiểu Mạn cũng hiểu cơ bản về toán học. Cô biết rõ những thành tựu mà Lâm Nhân đạt được có ý nghĩa gì… Ít nhất thì con đường sự nghiệp của Lâm Nhân đã được mở ra rộng lớn.

Lâm Nhân hít một hơi thật sâu rồi nói: “Nói chung, có một số sự cố nhỏ xảy ra… Nhưng việc đặt chân lên Mặt Trăng vẫn sẽ được tiếp tục thực hiện; chỉ là có một vài trở ngại nhỏ thôi. Dù bạn có tin hay không, trước đây tôi luôn rất quan tâm đến toán học.”

Lý Tiểu Mạn ngắt lời: “Đợi đã… Trước đây cậu cũng nói rằng mình rất thích Chương trình Apollo, phải không? Bây giờ lại nói là toán học à…”

Lâm Nhân lắc đầu: “Tôi cũng quan tâm đến toán học. Gần đây, khi suy nghĩ về Chương trình Apollo, tôi đã giải quyết được rất nhiều vấn đề toán học mà trước đây tôi không thể hiểu được.”

Bộ não của tôi giờ hoạt động hiệu quả hơn nhiều rồi, bạn có thể hiểu không?

Bài viết mới nhất đã được đăng trên trang web số 698!

Trước đây, với trình độ của mình, trong lĩnh vực toán học, tôi cũng chỉ có thể coi mình là một người yêu thích toán học mà thôi; nhưng bây giờ thì, để trở thành một Nhà toán học cũng chẳng thành vấn đề gì cả.”

Lâm Nhân tỏ ra rất khiêm tốn trước mặt Lý Tiểu Mạn, và không hề tự xưng là “bậc thầy” hay gì cả.

Lý Tiểu Mạn thở dài: “Vậy thì liệu Besose có còn xuất hiện không nhỉ? Nhưng bạn cũng đừng kỳ vọng quá nhiều, bởi vì trong bối cảnh hiện tại này, có lẽ cả các buổi tiệc gây quỹ cũng sẽ phải chuyển sang hình thức trực tuyến thôi. Thượng nghị sĩ Lỗ Đường Chân chắc chắn sẽ không dám liều lĩnh tổ chức bất kỳ buổi tiệc nào ngoài đời thực đâu.

Điều này cũng có nghĩa là bạn có thể sẽ không có cơ hội trò chuyện riêng với Besose đâu.”

Lâm Nhân gật đầu: “Chị Tiểu Mãn ơi, nếu có cơ hội thì gặp nhau, còn không thì thôi.”

“Vậy cuối cùng bạn đang có kế hoạch gì?”

Lâm Nhân nói một cách thoải mái: “Trước hết, hãy cố gắng giành được giải Fields trước đã.”

(Bản đồ các tài liệu liên quan đến giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh)

“Bằng chứng toán học về giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh và khoảng cách giữa các số nguyên tố không vượt quá 246”

Vào buổi tối hôm đó, trang web Arxiv của Ronald Lin đã đăng một bài báo mới.

Tiêu đề bài báo không có gì đặc biệt, nhưng phần tóm tắt thì lại rất thú vị.

Bởi vì trong phần tóm tắt có ghi rõ:

“Trong quá khứ, các bằng chứng liên quan đến giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh đều dựa vào những công cụ toán học then chốt sau đây: phương pháp lọc Selberg, phương pháp lọc GPY, phương pháp lọc Selberg đa chiều. Những nghiên cứu này đã giúp cải thiện giới hạn của giả thuyết, nhưng các phương pháp tối ưu hóa số liệu sử dụng vẫn không thể thiếu sự hỗ trợ của máy tính, bởi vì việc tối ưu hóa các thông số liên quan đến các tập hợp có kích thước lớn đòi hỏi sự can thiệp của máy tính.

Tác giả cho rằng, bằng cách sử dụng giả thuyết EH, kết hợp với khả năng kiểm soát các điểm zero mạnh mẽ hơn, cùng với sự hỗ trợ gián tiếp từ định lý GRH, chúng ta có thể giải quyết vấn đề này một cách hiệu quả.”

Nói chung, toàn bộ nội dung tóm tắt đều nhằm mục đích nói lên một điều duy nhất: chúng ta có thể sử dụng các phương pháp toán học thuần túy để giảm giới hạn của giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh

Nếu tính cả Randolph vào, thì anh ta chính là người đã phát hiện ra những tài năng mới này.

Anh ta gọi điện cho GIA MINH THÁI · Maynard, đồng nghiệp của mình trong lĩnh vực giả thuyết về các số nguyên tố song sinh: “GIA MINH THÁI, anh đã đọc bài báo mới của Randolph chưa? Thật sự rất đáng kinh ngạc.”

Tao Zhe-xuan cảm thấy hào hứng trước thành tựu này; trong đầu anh lại hiện lên những ký ức về những nỗ lực trong dự án Polymath cách đây sáu năm.

Tiếng ngạc nhiên của GIA MINH THÁI · Maynard vang lên từ đầu dây điện thoại: “Tất nhiên rồi. Randolph đang rất hot hiện nay. Ngay khi bài báo của anh ấy được công bố, có đồng nghiệp đã nhắn tin kêu tôi phải đọc ngay. Tôi chỉ đọc qua phần tóm tắt thôi… Anh ấy tuyên bố đã sử dụng các công cụ toán học thuần túy để chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên tố mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 246. Kết quả này thực sự rất đáng kinh ngạc. Trước đây, tôi cũng chỉ đạt được kết quả tối đa là 600 mà thôi; còn anh ấy thì đã tiến xa đến mức 246. Nhưng tôi vẫn chưa hiểu rõ cụ thể anh ấy đã làm thế nào để đạt được điều đó.”

Chính vì từng nghiên cứu về vấn đề này trước đây, nên ông ta mới hiểu rõ mức độ khó của nó đến mức nào. “Tôi chỉ đạt được 600 thôi; còn anh ấy lại làm được 246…” Tao Zhe-xuan giải thích: “Dựa trên những nghiên cứu của chúng tôi trong dự án Polymath, Randolph đã áp dụng một số công nghệ mới, giúp tối ưu hóa các phương pháp sàng lọc số nguyên tố. Theo những gì tôi đọc qua, có vẻ như anh ấy đã xử lý các yếu tố sai số một cách hiệu quả hơn nhiều, và có thể đã sử dụng một số công cụ cao cấp trong lĩnh vực số học phân tích, như phương pháp phân tích Fourier được cải tiến. Tuy nhiên, tôi vẫn còn nhiều điều chưa hiểu rõ; tôi rất muốn biết Randolph đã làm thế nào để đạt được kết quả đó.”

Trong đầu Tao Zhe-xuan, những công thức toán học phức tạp liên tục xuất hiện; anh đang cố gắng suy đoán xem Randolph đã tối ưu hóa các yếu tố sai số như thế nào.

GIA MINH THÁI · Maynard nói với giọng hào hứng: “Nghe có vẻ thú vị lắm! Tôi phải tìm thời gian đọc kỹ bài báo của anh ấy.”

Nhưng những thắc mắc của họ không kéo dài lâu. Bởi ba ngày sau đó, Học viện Đại học Stony Brook đã tổ chức một cuộc họp trực tuyến qua Zoom, nơi Lâm Nhân sẽ trình bày những thành tựu mới nhất của mình cho các đồng nghiệp.

Trong suốt nửa năm tiếp theo, tiến độ nghiên cứu của Lâm Nhân thực sự được mô tả là “phát triển với tốc độ chóng mặt”.

Một tháng sau, bằng chứng chứng minh giả thuyết EH đã được công bố.

Như đã đề cập trước đó, giả thuyết EH do Elliott và Halberstam đưa ra vào năm 1968 và được công bố trên tạp chí “Symposia Mathematica”. Ban đầu, cho đến năm 2025, giả thuyết này vẫn chưa được chứng minh.

Nói một cách khác, việc chứng minh được giả thuyết này có nghĩa là sai số trong sự phân bố của các số nguyên tố trong dãy số học với mô-đun ≤1 có thể được kiểm soát một cách hiệu quả, vượt xa mức mà định lý tiêu chuẩn đưa ra (một nửa).

Là một giả thuyết đã im lặng suốt hơn năm mươi năm, bài báo này đã gây ra một làn sóng xôn xao ngay khi được công bố.

Bởi vì nhờ vào hai bài nghiên cứu cải tiến công trình của người khác, Randolph không còn là một tân binh trong giới khoa học nữa. Với hai thành tựu xuất sắc trên những tạp chí hàng đầu, việc gọi anh ta là một ngôi sao mới nổi trong giới khoa học hoàn toàn là một lời khen ngợi xứng đáng.

Sau khi bài báo của anh ta được công bố, nhiều người cho rằng nếu giả thuyết EH được chứng minh, thì giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh cũng sẽ sớm được giải quyết. Trong một mức độ nào đó, hai giả thuyết này là tương đương với nhau.

Tuy nhiên, trước khi mọi người kịp nhận ra điều đó, Lâm Nhân đã cập nhật phiên bản bài báo chứng minh giả thuyết EH, đặt tên cho nó là “Bằng chứng chứng minh giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh dựa trên giả thuyết EH”.

Ngay lập tức, dư luận trở nên hỗn loạn.

Trong nửa đầu năm 2020, ngoài việc virus đang lan rộng khắp thế giới, Randolph cũng đang “gây chấn động” trong giới khoa học. Hai thành tựu đầu tiên là những công trình được công bố trên các tạp chí hàng đầu; hai thành tựu sau cùng là những giải thưởng Fields.

Chỉ trong vòng nửa năm, tất cả những thành tựu này đều được công bố một cách nhanh chóng.

Sau khi bài báo chứng minh giả thuyết về các cặp số nguyên tố song sinh được công bố, mọi phương tiện truyền thông chuyên về tin tức khoa học đều đổ xô hỏi ý kiến của các nhà khoa học lớn.

Câu hỏi được đặt ra nhiều nhất là liệu giải Fields năm 2022 có phải đã bị loại bỏ khỏi danh sách các ứng viên tiềm năng từ trước rồi không.